Wilson–CowanDos poblaciones, excitación e inhibición

En vez de seguir neuronas individuales, el modelo de Wilson y Cowan (1972) describe la actividad promedio de una población excitatoria E y una inhibitoria I. Con solo dos ecuaciones aparecen estados de reposo, actividad sostenida, biestabilidad y oscilaciones. Cambia la entrada y las conexiones, y haz clic en el plano de fase para elegir el estado inicial.

Plano de fase E–I

Las nullclines (dE/dt = 0, dI/dt = 0) se cruzan en los puntos fijos. Haz clic para lanzar una trayectoria desde ese estado.

dE/dt = 0dI/dt = 0estableinestablesilla

Estado

–
Punto fijoE*I*λTipo

Diagrama de bifurcación

Puntos fijos de E (verde estable, ámbar inestable) y mínimo/máximo de la oscilación (violeta) al variar IE. Haz clic para elegir IE.

Actividad en el tiempo

E(t) e I(t) de la última trayectoria. La inhibición sigue a la excitación con retraso: es ese desfase el que sostiene la oscilación.

E(t)I(t)

Las ecuaciones

τE dE/dt = −E + FE(wEEE − wEII + IEext)
τI dI/dt = −I + FI(wIEE − wIII + IIext)

F es una sigmoide desplazada para que F(0) = 0, con ganancia a y umbral θ:

F(x) = 1 / (1 + e−a(x−θ)) − 1 / (1 + eaθ)

Parámetros fijos: aE = 1,2, θE = 2,8, aI = 1, θI = 4, τE = 1. Los regímenes usan los valores del tutorial W2D4 de Neuromatch Academy.

La estabilidad de cada punto fijo se obtiene con los autovalores del jacobiano J (ver el módulo de sistemas lineales): estable si ambos tienen parte real negativa; silla si det J < 0.

Integración con Runge–Kutta de cuarto orden, Δt = 0,05 τE, 100 τE de simulación.

Qué observar

  • Oscilación por retroalimentación negativa. E excita a I, I inhibe a E. Si la inhibición llega con suficiente retraso (τI mayor), el punto fijo se vuelve un foco inestable y aparece un ciclo límite. Baja τI/τE en el régimen de oscilación y verás cómo desaparece.
  • Dos bifurcaciones. En el diagrama, al subir IE: el estado bajo estable choca con una silla y desaparece (bifurcación silla-nodo, IE ≈ 0,72), y la actividad salta al ciclo límite (banda violeta). Cerca de IE ≈ 1 el punto fijo alto se vuelve estable al cruzar su traza por cero (bifurcación de Hopf) y la oscilación se apaga: actividad baja → oscilación → actividad alta.
  • Biestabilidad. Con wEE fuerte hay dos estados estables separados por una silla. El estado final depende de dónde empiezas: una forma simple de memoria de trabajo.
  • Límites. Es un modelo de tasas promedio: no hay spikes, ni ruido, ni estructura espacial. Sirve para entender ritmos (como los gamma, ligados a la interacción E–I) en su forma más simple.