Decisión bayesianaPercibir y decidir con observaciones ruidosas

Un estímulo está a la izquierda o a la derecha, pero el cerebro solo recibe una medida ruidosa x. El observador ideal combina lo que espera (el prior) con lo que observa (la verosimilitud) y elige el lado más probable. Cambia el ruido y el prior, mueve la frontera a mano y compara con la decisión óptima.

Verosimilitudes ponderadas por el prior

p(x | izquierda)·P(izquierda)p(x | derecha)·P(derecha)frontera usadafrontera óptima x*
Frontera óptima x*–
d′ = 2μ/σ–
Acierto con la frontera usada–
Acierto simulado–

Posterior P(derecha | x)

La probabilidad de que el estímulo esté a la derecha tras observar x. El observador óptimo elige derecha cuando supera 0,5. Los puntos son 200 ensayos simulados (arriba: el estímulo era derecha; abajo: izquierda).

Acierto frente al ruido

Acierto del observador óptimo para cada σ (línea) y simulado con 2000 ensayos (puntos), con los demás parámetros fijos. El punto grande es el σ actual.

teoríasimulación

Las ecuaciones

El estímulo s ∈ {izquierda, derecha} tiene medias −μ y +μ. La observación es x ~ 𝒩(±μ, σ²). Por la regla de Bayes:

P(D | x) = p(x | D) P(D) / [ p(x | D) P(D) + p(x | I) P(I) ] = 1 / (1 + e−ℓ(x))
ℓ(x) = log [p(x | D) / p(x | I)] + log [P(D) / P(I)] = 2μx / σ² + log [P(D) / P(I)]

Elegir el lado con mayor posterior (minimiza los errores) equivale a una frontera en x:

x* = (σ² / 2μ) · log [ P(I) / P(D) ]

La probabilidad de acierto con una frontera c es

P(acierto) = P(I) Φ((c + μ)/σ) + P(D) [1 − Φ((c − μ)/σ)]

Φ es la distribución normal acumulada. Con priors iguales, x* = 0 y P(acierto) = Φ(d′/2), con d′ = 2μ/σ.

Qué observar

  • El prior mueve la frontera. Si “derecha” es más frecuente, conviene exigir menos evidencia para elegirla: x* se desplaza hacia la izquierda. El desplazamiento crece con σ²: cuanto más ruidosa la observación, más pesa lo que ya se esperaba.
  • Las áreas sombreadas son los errores. La frontera óptima está justo donde se cruzan las dos curvas: cualquier otra posición agranda el área total de error. Muévela y observa cómo baja el acierto.
  • d′ resume la dificultad. Solo importa la separación relativa al ruido: duplicar μ y σ a la vez no cambia nada.
  • Datos reales. En psicofísica se ajusta este modelo a las elecciones de un sujeto para estimar su ruido sensorial y su sesgo. Los sujetos reales se desvían del óptimo por lapsos, sesgos y priors mal calibrados.